انتگرال

آموزش انتگرال از پایه تا پیشرفته به صورت اصولی و حرفه‌ای

افرادی که در مقطع دبیرستان درس می‌خوانند، همیشه این سوال را مطرح می‌کنند که یادگیری مباحث ریاضی مثل حد، مشتق و انتگرال، در آموزش ریاضیات چه فایده و کاربردی دارد؟ این در حالی است که وقتی به دانشگاه می‌آیند و وارد رشته‌های مهندسی می‌شوند، متوجه می‌شوند که این مباحث، ریشه و اساس علوم مهندسی هستند و یادگیری آن‌ها بسیار مفید و موثر است. به علاوه با آموزش انتگرال و سایر مباحث ریاضی، ذهنمان بازتر می‌شود و می‌توانیم مسائل را خیلی بهتر و عمیق‌تر، درک و تحلیل کنیم. فواید و مزایای فراوان آموزش انتگرال و کاربرد فراوانی که دارد، بسیاری از افراد را به یادگیری این مبحث مهم، ترغیب کرده است.

اصلاً مفهوم انتگرال چیست؟

مبحث انتگرال، ارتباط نزدیک و تنگاتنگی با مبحث مشتق دارد. اگر بخواهیم معنای این دو مبحث را با یک مثال ساده توضیح دهیم، می‌توانیم بگوییم که منظور از مشتق، میزان آبی است که در لحظه از یک شیر آب خارج می‌شود و منظور از انتگرال، کل آبی است که در یک بازه زمانی از شیر آب خارج شده است. به بیان ساده‌تر، مفهوم انتگرال و مشتق، معکوس یکدیگر هستند.

وقتی یک تابع مشخص به ما داده می‌شود و می‌خواهیم انتگرال آن را محاسبه کنیم، در واقع قرار است مساحت زیر نمودار را به دست آوریم. از انتگرال برای محاسبه حجم نیز استفاده می‌شود. البته انتگرال یک تعریف کلی هم دارد که به این صورت است: «انتگرال (Integral)، روشی برای اختصاص اعداد به توابع است؛ به گونه‌ای که جابجایی، مساحت، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده‌های بی‌نهایت کوچک را به وسیله آن بتوان توصیف کرد.»

کاربردهای انتگرال

انتگرال یکی از پرکاربردترین مباحث ریاضی است و در حوزه‌های گوناگونی به کار می‌آید. در ادامه به چند مورد از مهم‌ترین کاربردهای آن اشاره خواهیم کرد:

·        محاسبه مساحت زیر منحنی یک تابع؛ یعنی مساحت شکلی که بین منحنی تابع و محور افقی (محور xها) ایجاد می‌شود.

·        محاسبه حجم اشیا و اشکال پیچیده با استفاده از انتگرال دوگانه

·        در صورت یادگیری محاسبه انتگرال می‌توانیم طول منحنی‌های گوناگون را محاسبه کنیم و به دست بیاوریم.

·        برای محاسبه میزان کاری که به وسیله یک نیروی مشخص انجام شده است، می‌توانیم از انتگرال کمک بگیریم.

·        حل معادلات دیفرانسیل، یکی دیگر از کاربردهای مهم و اصلی انتگرال است و با آموزش انتگرال می‎توانیم این معادلات را به بهترین شکل حل کنیم. 

·        در فیزیک، برای محاسبه مرکز ثقل باید از انتگرال استفاده کنیم.

·        انتگرال در اقتصاد هم کاربرد دارد و برای محاسبه ارزش فعلی جریان‌های نقدی به کار می‌رود.

مواردی که در این بخش از مقاله بیان کردیم، فقط بخشی از کاربردهای انتگرال است. در حال حاضر این مبحث در علوم و صنایع مختلفی کاربرد دارد و کارآمدی آن در بخش‌های مختلف، روز به روز بیشتر می‌شود.

انواع انتگرال

به طور کلی می‌توان گفت که انتگرال به دو نوع «معین» و «نامعین» تقسیم می‌شود. منظور از انتگرال معین، انتگرالی است که مقدار آن معین و مشخص است و منظور از انتگرال نامعین، انتگرالی است که مقدار آن نامعین (به همراه یک عدد ثابت که به آن، C هم می‌گویند) است. در واقع انتگرال نامعین را می‌توان به کمک فرمول زیر هم نشان داد:

 ∫g'(x)dx = g(x) + c

برخی افراد روش‌های دیگری هم برای تقسیم‌بندی انتگرال دارند. این افراد معمولاً انتگرال را به دو دسته «سره» و «ناسره» تقسیم می‌کنند. انتگرال سره، انتگرالی است که در آن‌، کران‌های انتگرال‌گیری مشخص و محدود هستند. انتگرال ناسره، انتگرالی است که حداقل یکی از کران‌های ، «بی‌نهایت» است. با آموزش انتگرال ناسره می‌توانیم مساحت زیر منحنی‌هایی که به صورت نامحدود ادامه دارند را محاسبه کنیم.

انواع روش‌های انتگرال‌گیری

روش‌های گوناگونی برای انتگرال گیری وجود دارد که در ادامه با چند مورد از مهم‌ترین روش‌های موجود آشنا خواهیم شد:

1. استفاده از فرمول های انتگرال

یکی از روش‌های معمول برای محاسبه انتگرال، استفاده از فرمولهای انتگرال است. این فرمول‌ها به ما کمک می‌کنند که انتگرال را به سرعت محاسبه کنیم و جواب مورد نظر را به دست بیاوریم. هر فرمول انتگرال عموماً با عکس عمل مشتق‌گیری محاسبه می‌شود:

 xn dx=xn+1 /n+1+C, n ≠ -1‎‎ ∫
 dx =x+C ∫
 cosxdx = sinx+C ∫
 sinx dx = -cosx+C ∫
 sec2x dx = tanx+C ∫
 cosec2x dx = -cotx+C ∫
 sec2x dx = tanx+C ∫
 secx tanxdx = secx+C ∫
 cscx cotx dx = -cscx+C ∫
1/(√(1-x2))= sin-1 x + C ∫
-1/(√(1-x2))= cos-1 x + C ∫
∫1/(1+x2)= tan-1 x + C ∫
-1/(1+x2)= cot-1 x + C ∫
1/(x√(x2 -1))= sec-1 x + C ∫
-1/(x√(x2 -1))= cosec-1 x + C ∫
 exdx=ex + C ∫
dx/x=ln|x| + C ∫
ax dx=ax/ln a + C ∫

2. استفاده از روش انتگرال‌گیری تغییر متغیر

در صورت آموزش انتگرال تغییر متغیر می‌توانیم عبارتی از متغیرها را به عنوان یک متغیر جدید در نظر بگیریم و با این کار، محاسبات مربوط به انتگرال را سریع‌تر و راحت‌تر انجام دهیم. استفاده از روش تغییر متغیر، زمانی ممکن می‌شود که در انتگرال، مشتق عبارت در کنار آن قرار گرفته باشد.

3. استفاده از روش جزء به جزء برای انتگرال‌گیری

یکی دیگر از روش‌های متداول برای انتگرال‌گیری، روش جزء به جزء است. با آموزش انتگرال جز به جز می‌توانیم انتگرال توابعی را به دست آوریم که فرمول مستقیمی برای محاسبه انتگرال آن‌ها وجود ندارد. این روش کاربردهای مختلفی دارد. به عنوان مثال می‌توان از این روش برای محاسبه انتگرال توابع مثلثاتی استفاده کرد. روش‌های دیگری هم برای محاسبه انتگرال‌های مختلف وجود دارد که از جمله آن‌ها می‌توان به روش انتگرال‌گیری تفکیک کسر اشاره کرد. 

مزایای آموزش انتگرال

آموزش انتگرال مزایای مختلفی دارد که در ادامه به چند مورد از این مزایا اشاره خواهیم کرد:

1. تقویت تفکر ریاضی و بهبود مهارت حل مسئله

یکی از مهم‌ترین مزایای آموزش انتگرال، تقویت تفکر ریاضی و بهبود توانایی حل مسئله است. توانایی در حل انتگرال به ما این امکان را می‌دهد که مبحث مشتق را هم خیلی خوب بیاموزیم و مسائل مربوط به مشتق را هم به خوبی حل کنیم. جالب اینجاست که وقتی چند مسئله انتگرال را حل کردیم، مهارت حل مسئله در ما تقویت می‌شود و می‌توانیم سایر مسائل آسان و دشوار مربوط به مبحث انتگرال را هم حل کنیم.

2. تقویت درک مفاهیم انتزاعی

مسائل انتگرال، پر از مفاهیم انتزاعی است؛ خصوصاً اگر بخواهیم انتگرال دوگانه و مباحث مربوط به حجم را حل کنیم، قاعدتاً اگر بتوانیم مسئله و شکل را از نظر انتزاعی درک کنیم، حجم آن را خیلی بهتر و دقیق‌تر محاسبه می‌کنیم.

3. افزایش توانایی تجزیه و تحلیل و مسائل

ریاضیات، لبریز از منطق است و به همین دلیل با حل مسائل گوناگون ریاضی می‌توانیم قدرت استدلال را در وجود خود بیشتر کنیم و با نگاهی درست‌تر و عمیق‌تر با مسائل زندگی روبرو شویم. اساساً ریاضیات، نقش مهمی در زندگی انسان دارد و یکی از نقش‌های آن، این است قدرت اندیشه و استدلال را در ذهن ما پرورش دهد.

4. کارآمدی انتگرال در حوزه‌های مختلف علمی و فنی

انتگرال یکی از مباحث مهم و پرکاربرد ریاضی است که در علوم و حوزه‌های فنی و مهندسی گوناگون مانند فیزیک، مهندسی، اقتصاد، علوم کامپیوتر و زیست‌شناسی کاربرد دارد. کارآمدی و مفید بودن انتگرال در حوزه‌های مختلف باعث شده است که بسیاری از افراد بخواهند مبحث انتگرال را فرابگیرند و مباحث مربوط به آن را حل کنند.

5. شرکت کردن در امتحانات مختلف و کسب نمرات رضایت‌بخش

در طول دوران دانشگاه، انتگرال یکی از اصلی‌ترین مباحث در رشته‌های مهندسی است و با یادگیری این مبحث می‌توانید سایر مباحث ریاضی را هم خیلی بهتر و عمیق‌تر فرابگیرید. همچنین انتگرال، موضوع اصلی بسیاری از امتحانات در رشته‌های مهندسی است و در صورت فراگیری درست این مبحث، می‌توانید نمرات بسیار خوبی در امتحانات کسب کنید.

انواع روش‌های آموزش انتگرال

روش‌های گوناگونی برای یادگیری و آموزش انتگرال وجود دارد که در ادامه به چند مورد از آن‌ها اشاره خواهیم کرد:

·        مطالعه انواع کتاب و جزوه آموزشی انتگرال: خوش‌بختانه کتاب‌های آموزشی متنوع در بازار وجود دارد که با استفاده از آن‌ها می‌توان انتگرال را از پایه تا پیشرفته آموخت. همچنین با استفاده از جزوات آموزشی انتگرال که به صورت رایگان در وب‌سایت‌ها قرار گرفته است، می‌توان انتگرال را به صورت حرفه‌ای آموخت. آموزش انتگرال نامعین، آموزش انتگرال معین، آموزش انتگرال دوگانه و روش‌های انتگرال‌گیری، مهم‌ترین سرفصل‌های این کتاب‌ها و جزوات آموزش انتگرال محسوب می‌شود.

·        شرکت در دوره‌های آموزش حضوری انتگرال: یکی دیگر از روش‌های عالی برای یادگیری انتگرال، شرکت در کلاس‌های حضوری است. این کلاس‌ها در زمان و مکان مشخصی برگزار می‌شوند و همین موضوع باعث می‌شود که برخی افراد، توان شرکت در این کلاس‌ها را نداشته باشند. از طرفی در صورت عدم شرکت در یک جلسه از دوره، دیگر ویدیوی آن جلسه در اختیار افراد قرار نمی‌گیرد و در نتیجه، افراد این جلسه را به صورت کامل از دست می‌دهند. مزیت دوره‌های حضوری این است که وقتی پرسشی در ذهن شرکت‌کنندگان شکل بگیرد، می‌توانند فوراً پرسش خود را با استاد در میان بگذارند و پاسخ خود را بگیرند.

·        شرکت در دوره‌های آموزش آنلاین و غیرحضوری انتگرال: دوره‌های آموزش آنلاین، یکی از بهترین روش‌های یادگیری و آموزش انتگرال محسوب می‌شوند. این دوره‌ها، محدودیت زمانی و مکانی ندارند و افراد در زمان و مکان دلخواه خود می‌توانند ویدیوهای دوره را تماشا کنند. همچنین در صورتی که سوالی در ذهن افراد نقش بست، می‌توانند این پرسش را در بخش پشتیبانی سایت با استاد دوره در میان بگذارند و جواب بگیرند.

آموزش انتگرال از صفر تا صد با مکتب‌خونه

با توجه به کاربردها و مزایای گوناگون آموزش انتگرال، دانش‌آموزان، دانشجویان و متخصصان بسیاری خواهان یادگیری این مبحث ریاضی هستند. در صورتی که شما هم تمایل به یادگیری مبحث انتگرال دارید، پیشنهاد می‌شود که این مبحث را در مراکز آموزشی حرفه‌ای فرابگیرید؛ زیرا این مراکز معمولاً بهترین اساتید را در کنار خود دارند و تلاش می‌کنند که دوره‌های آموزشی خود را با کیفیت عالی برگزار کنند. به علاوه این مراکز معتبر و حرفه‌ای، پس از اتمام هر دوره آموزشی به دانش‌آموزان و دانشجویان خود، مدرک معتبر اعطا می‌کنند.

پلتفرم آموزشی مکتب‌خونه، یکی از مراکز آموزشی حرفه‌ای است که دوره‌های آموزش انتگرال را به صورت آنلاین برگزار می‌کند. این پلتفرم همواره کوشیده است که از بهترین اساتید برای برگزاری دوره‌های انتگرال کمک بگیرد. دانشجویان از سراسر جهان و در زمان دلخواه خود می‌توانند در این دوره‌های آموزشی شرکت کنند و مطالب را به شکلی عمیق، فرابگیرند. همچنین پس از پایان دوره‌های آموزشی مکتب‌خونه می‌توانید مدرک معتبری از سوی این مرکز آموزشی دریافت کنید.